量化股票交易接口在哪里找,投资现代股票交易接口在哪里找,投资组合理论
问题：构建投资组合，达到目标收益率的同时拥有最小的riskexposure.
有JJJ个可交易证券，期望收益率为R=[R1, ⋯ , Rj]TR=[R_1,,cdots,,R_j]^TR=[R1,⋯,Rj]T，无风险利率为RfR^fRf；令μ∈RJmuinmathbb{R}^Jμ∈RJ为期望收益率，ΣSigmaΣ为期望收益率的协方差矩阵；投资组合θ=[θ1, ⋯ , θJ]J heta=[ heta_1,,cdots,, heta_J]^Jθ=[θ1,⋯,θJ]J，满足θTe=1 heta^Te=1θTe=θi heta_iθi代表投资于第jjj个证券的资产比例；投资组合θ hetaθ的期望收益率为：μ[θ]=Rθ=Rf+θTmu[ heta]=R^{ heta}=R^f+ heta^Tμ[θ]=Rθ=Rf+θT，标准差为σ[θ]=12sigma[ heta]=^{frac{1}{2}}σ[θ]=21；不同投资组合之间的协方差为：σ[θ, θ′]=θTΣθ′sigma[ heta,, heta"]= heta^TSigma heta"σ[θ,θ′]=θTΣθ′；
有效投资组合EfficientPortfolio：投资组合θ0 heta_0θ0在μ0mu_0μ0处是mean-varianceefficient，若θ0 heta_0θ0的期望收益为μ0mu_0μ0，并且不存在其他达到同样期望收益率且拥有更小方差的投资组合。即：θ0∈argmin{σ2[θ] ∣ μ[θ]=μ0} heta_0inargmin{sigma^2[ heta],|,mu[ heta]=mu_0}θ0∈argmin{σ2[θ]∣μ[θ]=μ0}该问题可以写成最优化问题：θ0=argmin{12θ0TΣθ0: θTμ=μ0andθTe=1} heta_0=argmin{frac{1}{2} heta_0^TSigma heta_0:, heta^Tmu=mu_0 ext{and} heta^Te=1}θ0=argmin{21θ0TΣθ0:θTμ=μ0andθTe=1}其中的12frac{1}{2}21是为了便于求导。构建Lagrangian：L=12θTΣθ+λ1+λ2L=frac{1}{2} heta^TSigma heta+lambda_1+lambda_2L=21θTΣθ+λ1+λ2得到FOC为：{Σθ+λ1μ+λ2e=0θTμ=μ0θTe=1left{egin{array}{l}Sigma heta+lambda_1mu+lambda_2e=0\ heta^Tmu=mu_0\ heta^Te=1end{array} ight.⎩⎨⎧Σθ+λ1μ+λ2e=0θTμ=μ0θTe=1由第一个式子，我们可以得到：θ=−Σ−1[μ, e][λ1λ2] heta=-Sigma^{-1}[mu,,e]egin{bmatrix}lambda_1\lambda_2end{bmatrix}θ=−Σ−1[μ,e][λ1λ2]由第二个式子，我们可以得到：[μ, e]Tθ=[μ01][mu,,e]^T heta=egin{bmatrix}mu_0\1end{bmatrix}[μ,e]Tθ=[μ01]两个式子联立得到：−[μ, e]TΣ−1[μ, e][λ1λ2]=[μ01]-[mu,,e]^TSigma^{-1}[mu,,e]egin{bmatrix}lambda_1\lambda_2end{bmatrix}=egin{bmatrix}mu_0\1end{bmatrix}−[μ,e]TΣ−1[μ,e][λ1λ2]=[μ01]令A=[μ, e]TΣ−1[μ, e]A=[mu,,e]^TSigma^{-1}[mu,,e]A=[μ,e]TΣ−1[μ,e]，则：[λ1λ2]=−A−1[μ01]egin{bmatrix}lambda_1\lambda_2end{bmatrix}=-A^{-1}egin{bmatrix}mu_0\1end{bmatrix}[λ1λ2]=−A−1[μ01]再代回去，得到：θ=Σ−1[μ, e]A−1[μ0, 1] heta=Sigma^{-1}[mu,,e]A^{-1}[mu_0,,1]θ=Σ−1[μ,e]A−1[μ0,1]方差为：σ02=θTΣθ=[μ0, 1]A−1[μ0, 1]Tsigma_0^2= heta^TSigma heta=[mu_0,,1]A^{-1}[mu_0,,1]^Tσ02=θTΣθ=[μ0,1]A−1[μ0,1]TMarkowitz’sMVEfficientFrontier：将上述解析解画出像，可以得到：
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